CASOS DE FACTOREO
CASO 1 DE FACTORIZACIÓN
FACTOR COMÚN
(Hay factor común entre los números)
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los
números.
7x2
+ 11x3 - 4x5 + 3x4
- x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2
- x6)
El factor común es x2.:
La x elevada a la menor potencia con
que aparece.
9x3 - 6x2
+ 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3
- 6x5)
9x2ab - 3xa2b3
+ x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)
36x4 - 48x6
- 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 -
6 + 5x2)
(x + 1).3 - 5x. (x + 1) +
(x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2)
4/3 x - 8/9 x3
+ 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5
x6 - x4)
12x2 + 18x3
- 24x5 + 30x4 -
6x8 = 6x2. (2 + 3x - 4x3 + 5x2 - x6)
CASO 2 DE FACTORIZACIÓN FACTOR
COMÚN EN GRUPOS
4a +
4b + xa
+ xb =
4.(a + b)
+ x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Saco factor común "4"
en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos
"resultados" son iguales: (a +
b). Luego, saco como factor común a
(a + b).
4a - 7x2a + ya + 4z -
7x2z + yz =
a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =
(4 - 7x2 + y).(a + z)
Aquí hay 6
términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos
de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos.
CASO 3 DE FACTORIZACIÓN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
x2 +
6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean
"cuadrado" de algo. Son: x2
y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases).
Luego verifico 2.x.3 = 6x
("doble producto del primero por el segundo"). Dio igual que el otro
término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la
factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
x2 -
10x + 25 = (x - 5)2
x (-5)
2.(-5).x
-10x
Tomo como bases a "x"
y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la
verificación del doble producto da bien. El resultado es la suma de las bases,
al cuadrado. O sea (x + (-5))2
, que es igual a (x - 5)2.
CASO 4 DE FACTORIZACIÓN CUATRINOMIO
CUBO PERFECTO
(Todos los términos son positivos)
x3 + 6x2
+ 12x
+ 8 = (x +
2)3
x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x
Las bases son x y 2. Los dos
"triple-productos" dan bien (6x2
y 12x). El resultado de la
factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".
(Con términos negativos)
x3 -
9x2 + 27x - 27
= (x - 3)3
x
-3
3.x2.(-3) 3.x.(-3)2
-9x2 27x
Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es
igual a -27. Y los dos "triple-productos" dan
bien. El resultado es (x + (-3))3, que
es igual a (x - 3)3
CASO 5 DE FACTORIZACIÓN DIFERENCIA
DE CUADRADOS
(Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por
la "resta de las bases".
(Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que
(x3)2 es igual a x6
(Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x
- a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una
sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.
x2 - y2
= (x + y).(x - y)
b2 - 1 = (b +
1).(b - 1)
x2 - 9/25 = (x
+ 3/5).(x - 3/5)
x6 - 4 = (x3
+ 2).(x3 - 2)
25 – 36m4 (5 +
6m2) (5 – 6m2)
100 – m2 n6
(10 + mn3) (10 – mn3)
X2Y4Z6
– 144 = ( XY2Z3 +
12) ( XY2Z3 - 12)
CASO 6 DE FACTORIZACIÓN SUMA
O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO
(Suma de Potencias Impares)
x5 + 32 = (x + 2).(x4 -
2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x 2
Cociente: x4 -
2x3 + 4x2 - 8x + 16
Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de
potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x +
2). Y la división se suele hacer con la
regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y
el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se
factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de
las bases multiplicada por el resultado de la división".
Pero también hay otra forma
de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para
construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la
explicación para hacerlo de las dos maneras.
La variedad de los siguientes
ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al
utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la
regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios
(Resta de Potencias Impares)
x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)
x 2
Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la
resta de las bases.
CASO 7 DE FACTORIZACIÓN
TRINOMIO X2 + B + C
x2
+ 3x + 2 =
Abres dos paréntesis ( ) donde va la X en cada uno ya que esta
elevada al cuadrado
(x ).(x
)
Los signos los obtienes asi:
x2 + 3x + 2 =
+ por +
(x
+ ).(x
+ )
Buscar dos números positivos que multiplicados den 2 y sumados den
3.
Sacas el mínimo común
múltiplo de 2 2
1
Obtienes como resultado el 2 que multiplicado por 1 = a 2 y sumados
2+1= 3
(x
+ 1).(x + 2) Esta es la factorización de x2 + 3x + 2 =
Otro ejemplo:
X6
— 13X3 + 42
Tienes X6 que
se puede factorizar como X3 y
X3
(X3
) ( X3 )
Buscamos
los signos que llevan dentro del paréntesis
X6 — 13X3 + 42
Más por menos = a menos
(X3
— )
( X3 )
X6 — 13X3 + 42
Menos por más = a menos
(X3
— )
( X3 — )
Buscamos dos números negativos que
multiplicados den 42 y sumados de 13
42 2 
21 3
7 7
1
2 *
3 = 6 y
—6
* —
7 = 42 (menos por menos da más) y (—6) + (— 7) = — 13
El resultado de factorizar mi trinomio X6
— 13X3 + 42 = es (X3 —
6 ) * ( X3
— 7 )
CASO 8 DE FACTORIZACIÓN
TRINOMIO AX2 + B + C
6X2
— 10X + 4
(Sacas el número que tienes en tu primer
término, en este caso es el 6, pones entre paréntesis toda tu ecuación y
divides todo entre el número que sacaste, en este caso es 6, todo para
establecer una igualdad y que no modifiques nada)
6X2 — 10X + 4
6 (6X2 — 10X + 4)
6
(Amplificas tu ecuación multiplicando el 6
que tienes afuera por toda la ecuación, solo que en el segundo término, para
ahorrar un paso, dejas tus números en este caso 10X y el 6 lo encierras en un
paréntesis, queda el segundo termino así; 10X (6). Todo dividido entre 6)
36X2 — 10X(6) + 24
6
Factorizar esta ecuación. 6 por 6 = 36,
abres dos paréntesis
36X2 — 10X(6) + 24
6
(6X
) (6X )
Buscas los signos que deben de llevar:
36X2 — 10X(6) + 24 36X2 — 10X(6) — 10X(6) + 24
6
Más
por menos da menos (menos por mas da
menos)
(6X
— ) * (6X — )
6 Todo entre
6, que no se te olvide.
Buscamos dos números que multiplicados nos
den 24 y sumados nos den 10
mcm.
de 24
24 2
12 2
6 2
3 3
1
2
por 2 por 2 = 8 y 8 por 3 = 24 pero sumados 2+2+2+3= 9 estos números no nos sirven. Vamos a volver a
buscar nuestro mcm de 24.
24 4
6 6
1
Correcto:
(—6) * (—4)= 24 menos por menos da más
y (—6) + (—4) = — 10
(6X
— 6 ) *
(6X — 4 )
6
Vamos a eliminar el 6 que están dividiendo
por medio de factorizar nuestros términos que tenemos en el paréntesis,
(6X — 6 ) *
(6X — 4 )
6
3(2X
— 2) * 2(3X — 2)
6
3 por 2 = 6  |
3(2X — 2) *
2(3X — 2)
6
Al quedar eliminado el 6 que dividía, nuestra
solución final es:
(2X — 2) (3X — 2)
Listo
6x2
— 11xa — 10a2
Comprobación
(2x — 5a)
(3x + 2a)
6x2 + 4xa — 15xa — 10a2
6x2 — 11xa — 10a2
La respuesta correcta es B)
CASO 9 DE FACTOREO CON
GAUSS
(Con coeficiente principal
distinto de 1)
2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x
+ 2).(x - 3).(2x - 1)
Divisores del término
independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente
principal (2): a = 1, -1, 2, -2
Posibles raíces del
polinomio: k/a
Entonces pueden ser raíces:
1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
El polinomio podría ser
divisible por alguno de estos binomios: (x - 1),
(x + 1), (x -2), (x + 2), (x
+ 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2),
(x - 1/2),(x + 3/2) ó (x -
3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces.
Pruebo hacer varias de esas
divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:
| 2 -3
-11 6
|
|
-2| -4
14 -6
2 -7 3
| 0
Cociente: 2x2 - 7x + 3 Resto: 0
Por ahora, la factorización
queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3).
En el polinomio de segundo
grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo
Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:
2x2 - 7x + 3 =
Posibles raíces: 1, -1, 3,
-3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
Cuando pruebo dividir por (x
- 3), encuentro que el resto dá 0:
| 2 -7 3
|
|
3| 6
-3
2 -1 | 0
Cociente: (2x - 1) Resto: 0
Como ya tengo todos
polinomios de grado 1, la factorización queda así:
(x
+ 2).(x - 3).(2x - 1)
Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los
divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos
divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir
al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el
Sexto Caso, se factorizan usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X
COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un
número es raíz del polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el
Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)
Estos casos son más
difíciles de presentar. Estúdialos y
practícalos, solo así los dominaras.
(3a-4b)(3a+4b)=
9a2
– 16b2
25a4 — 30a2b + 9b2
El primer y tercer términos tiene que tener
raíz cuadrada perfecta. 25a4 su raíz cuadrada es 5a2; 9b2
su raíz cuadrada es 3b. El segundo termino tiene que ser el doble producto de
multiplicar las raíces cuadradas obtenidas (5a2) (3b) por 2 = 30 a2b
Este es el resultado (5a2 – 3b)2
5x - 3x = 2x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
= 5x
Les restas 3x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
= 2x
Esto es lo que sombreas
|
x
|
x
|
¿Cuál es el duplo de un número aumentado en dos?
Ejemplo: 0,8
Desarrollo
a) El número buscado es : ( n )
b) Planteamiento : ....
"el duplo de un número aumentado en dos unidades como 4 es a 7 "
.............. ......... 2 n
...... 4
................ ....
-------- = ----
.............. ........n + 2
......7
c) Multiplicando en cruz:
............... ........ 14 n
= 4 n + 8
............... ........ 10 n
= 8
.......... ...... .......... ....... 8
.............. ..............
.n = -----
............ ..............
......... 10
.............. ..............
.n = 0,8 RESPUESTA
MAS INFORMACIÓN SOBRE LOS 10 CASOS DE FACTOREO:
